θεωρία συνόλων

Ορισμός

Σύνολο, είναι μια καλά ορισμένη συλλογή αντικειμένων, διακεκριμένων μεταξύ τους και που η φύση τους μπορεί να είναι οποιαδήποτε.

Τα σύνολα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα της αλφαβήτου.

Στοιχεία συνόλου

Τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται ένα σύνολο λέγονται στοιχεία συνόλου ή απλά στοιχεία και καταχωρούναι μέσα στα άγκιστρα { και }.

Ένα στοιχείο συμβολίζεται με το γράμμα p.

Για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο έστω p ανήκει στο σύνολο έστω A, γράφουμε:

p ∈ A

Αντίθετα για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο έστω p δεν ανήκει στο σύνολο έστω A γράφουμε:

p ∉ A

Α = {α, β, γ}

Στο παραπάνω παράδειγμα το στοιχείο α ∈ Α, ενώ το στοιχείο δ ∉ Α.

Με αναγραφή των στοιχείων του

Α = {α, 1, β, 2, γ, 3}, Β = {@, $, %, &}

Με περιγραφή των στοιχείων του

Φ = {x : x φωνήεν του αλφαβήτου}

Το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2010: E = {0, 1, 2}

Το σύνολο των μονοψήφιων φυσικών αριθμών: Β = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Με διαγράμματα Venn

Δείτε παρακάτω

Κενό Σύνολο

Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με το σύμβολο ∅ ή { }.

Ισχύουν:

• Το κενό σύνολο ∅ δεν έχει στοιχεία
• Το κενό σύνολο { } είναι υποσύνολο κάθε συνόλου
• Υπάρχει ακριβώς ένα (1) κενὸ σύνολο

∅ = {}, {0} ≠ {}, {0} ≠ ∅, 0 ≠ ∅ καὶ 0 ∉ ∅

Σύνολα συνόλων

Ένα σύνολο μπορεί να έχει ως στοιχεία σύνολα.

{{1, 2, 3}, {4, 5}}

Σύνολα διατεταγμένων ζευγών

Ένα σύνολο μπορεί να έχει ως στοιχεία διατεταγμένα ζεύγη.

{(α, β), (γ, δ), (ε, ζ)}

{x, y} = {y, x} ενώ (x, y) ≠ (y, x)

Ίσα σύνολα

Αν Α, Β είναι δύο μη κενά σύνολα, θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι ίσο με το σύνολο Β (Α = Β) αν και μόνο αν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.

Α = Β ⇔ (∀ x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Πληθικὸς αριθμὸς (Cardinality)

Είναι το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου (συμβολικά |A|).

Έστω Α = {1, 2, 3}, |Α| = 3

|∅|= 0, |{1, 2, 3}| = 3, |{a, b}| = 2, |{{1, 2, 3}, {4, 5}}| = 2

Υποσύνολο (και υπερσύνολο)

Αν Α, Β είναι δύο μη κενά σύνολα, θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του (Α ⊆ Β) αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β δηλ.:

Α ⊆ Β ⇔ (∀ x ∈ Α ⇒ x ∈ Β)

Γνήσιο Υποσύνολο

Αν Α, Β είναι δύο μη κενά σύνολα, θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β (Α ⊂ Β) αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Β που δεν ανήκει στο Α δηλ.:

Α ⊂ Β ⇔ (∀ x ∈ Α ⇒ x ∈ Β Λ ∃ y ∈ Β : y ∉ Α)

Δυναμοσύνολο Συνόλου

Εστω X σύνολο. Το σύνολο που έχει σαν στοιχεία τα υποσύνολα του X λέγεται δυναμοσύνολο του X και συμβολίζεται με 2^X ή P(X). δηλ.:

2X = P(X) = {A : A ⊆ X}

Βασικό σύνολο

Ένα σύνολο που έχει υποσύνολα όλα τα σύνολα με τα οποία εργαζόμαστε το ονομάζουμε βασικό σύνολο και το συμβολίζουμε συνήθως με Ω ή U (Universal).

Συμπλήρωμα συνόλου

Αν Ω είναι ένα βασικό σύνολο και Α ένα υποσύνολο αυτού, ονομάζουμε συμπλήρωμα ή συμπληρωματικό ή αντίθετο του Α (συμβολικά A' ή A^C), το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α.

Α' = {x : x ∈ Ω Λ x ∉ A}

Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων

Εστω Α, Β σύνολα. Το καρτεσιανό γινόμενο των Α, Β (συμβολικά: ΑxB) είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών και ορίζεται ως εξής:

ΑxB = {(x, y) : x∈Α Λ y∈Β }.

Σημαντικά σύνολα

Ορισμένα σύνολα έχουν μεγάλη μαθηματική αξία και αναφέρονται τόσο συχνά στα μαθηματικά κείμενα που έχουν αποκτήσει ειδικά ονομάτα και συμβολισμό για να αναγνωρίζονται. Από τα πιο σημαντικά είναι τα εξής:

{\displaystyle \mathrm {\mathbb {N} } }, το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {0, 1, 2, 3, ...}.

{\displaystyle \mathrm {\mathbb {Z} } }, το σύνολο όλων των ακεραίων αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

{\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} } }, το σύνολο όλων των ρητών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} ={\begin{Bmatrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\end{Bmatrix}}} }{\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} ={\begin{Bmatrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\end{Bmatrix}}} }.

{\displaystyle \mathrm {\mathbb {R} } }, το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Ένωση συνόλων (Union Set)

Ένωση δύο συνόλων Α, Β (συμβολικά A ∪ B ) ονομάζουμε το σύνολο που έχει στοιχεία τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων.

A ∪ B = {x : x ∈ A V x ∈ B}

Αν Α = {α, 1, 2, 3} και Β = {α, β, γ, 3} τότε A ∪ B = {α, 1, 2, 3, β, γ}

1. A ∪ A = A για κάθε σύνολο Α
2. A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = Α για κάθε σύνολο Α
3. Α ∪ Β = Β ∪ Α για κάθε Α, Β
4. Α ⊆ Α ∪ Β και Β ⊆ Α ∪ Β για κάθε Α, Β
5. (Α ∪ Β) ∪ Γ = Α ∪ (Β ∪ Γ) = Α ∪ Β ∪ Γ για κάθε Α, Β, Γ
6. Α ⊆ Β ⇒ Α ∪ Β = Β

Τομὴ Συνόλων (Intersection Set)

Τομή δύο συνόλων Α, Β (συμβολικά A ∩ B) ονομάζουμε το σύνολο που έχει στοιχεία τα κοινά μόνο στοιχεία των δύο συνόλων.

A ∩ B = {x : x ∈ A Λ x ∈ B}

Έστω Α = {α, 1, β, 2, 3, 0} και Β = {α, β, γ, 1, 2, 3, 4} τότε A ∩ B = {α, β, 1, 2, 3}

1. A ∩ A = A για κάθε σύνολο Α
2. A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ για κάθε σύνολο Α
3. Α ∩ Β = Β ∩ Α για κάθε Α, Β
4. Α ∩ Β ⊆ Α και Α ∩ Β ⊆ Β για κάθε Α, Β
5. (Α ∩ Β) ∩ Γ = Α ∩ ( Β ∩ Γ) = Α ∩ Β ∩ Γ για κάθε Α, Β, Γ
6. Α ⊆ Β ⇒ Α ∩ Β = Α

Διαφορὰ Συνόλων (Difference Set)

∆ιαφορά δύο συνόλων Α, Β (συμβολικά A − B) ονομάζουμε το σύνολο που έχει στοιχεία τα στοιχεία του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο Β.

A − B = {x : x ∈ A και x ∉ B}

Έστω Α = {α, 1, β, 2, 3, 0} και Β = {α, β, γ, 1, 2, 3, 4} τότε A − B = {0}

Συμπλήρωμα Συνόλου (Complement Set)

Αν Ω είναι ένα βασικό σύνολο και Α ένα υποσύνολο αυτού, ονομάζουμε συμπλήρωμα ή συμπληρωματικό ή αντίθετο του Α (συμβολικά A^C), το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α.

AC = {x ∈ U : x ∉ A}

1. Ω′ = ∅ και ∅′ = Ω
2. (Α′)′ = Α για κάθε Α
3. Α ∪ Α′ = Ω για κάθε Α
4. Α ∩ Α′ = ∅ για κάθε Α
5. (Α ∪ Β)′ = Α′ ∩ Β′ για κάθε Α, Β
6. (Α ∩ Β)′ = Α′ ∪ Β′ για κάθε Α, Β
7. A − Β = Α ∩ Β′ για κάθε Α, Β

Ισότητα συνόλων (Equal Sets)

1. Α = Α για κάθε Α (αυτοπαθής)
2. Α = Β ⇒ Β = Α για κάθε Α, Β (συμμετρική)
3. Α = Β και Β = Γ ⇒ Α = Γ για κάθε Α, Β, Γ (μεταβατική)

Κενό σύνολο (Empty Set)

A ∪ ∅ = A
A ∩ ∅ = ∅
A ∩ A' = ∅
A ∪ A' = U
Ω' = ∅
∅' = Ω

Νόμος Ατομικότητας

A ∪ A = A

A ∩ A = A

Άντιμεταθετικὴ

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

Προσεταιριστικὴ

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Ἐπιμεριστικὴ

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Νόμοι Ταυτότητας

A ∪ ∅ = A

A ∩ Ω = A

A ∪ Ω = U

A ∩ ∅ = ∅

Νόμοι Συμπληρώματος

A ∪ A' = Ω

A ∩ A' = ∅

(A')' = A

Ω' = ∅

∅' = Ω

Νόμοι De Morgan

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Νόμος Διάταξης

A ⊃ B ⇔ A ∪ B = A

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

Ένωση συνόλων

Τομή συνόλων

Διαφορά συνόλων

Σχετικό συμπλήρωμα συνόλου

Απόλυτο συμπλήρωμα συνόλου